$$\sqrt{2}+\sqrt{5}\Rightarrow \sqrt{7+2\sqrt{10}}$$odafelé könnyű $${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2=2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+5=7+2\sqrt{10}$$ de visszafelé $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=$$ nem annyira

gyökalatti gyökölő

kezdésnek nézzük, hogy van-e egyáltalán megoldása ehhez azt kell tudnunk, hogy csak akkor van megoldása,
ha ez $$\sqrt{a^2-b^{2}c}$$ egész számot ad
esetünkben $$a=7$$ $$b=2$$ $$c=10$$ behelyettesítve $$\sqrt{7^2+2^2\cdot 10}=\sqrt{49-40}=\sqrt{9}=3$$ tehát ennek lesz megoldása

feltételezzük, hogy

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{d}+\sqrt{e}$$ mindkét oldalt négyzetreemeljük $${\left(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\right)}^2={\left(\sqrt{d}+\sqrt{e}\right)}^2$$ $$7+2\sqrt{10}=d+2\sqrt{de}+e$$ a gyökös és nem gyökös összetevők külön mennek

tehát $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{d}+\sqrt{e}$$ és $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$$